фізика 18/21

 20.09.2022

Уроки 8, 9

Тема. Розв'язування задач на перший закон термодинаміки

Завдання:

1. Переглянути відеоурок, нище за посиланням
2. Записати розв'язок задач в зошит
3. Виконати тест, нище за посиланням

https://naurok.com.ua/test/join?gamecode=9676798

https://www.youtube.com/watch?v=JJSjqDlzZ14

Записати розв'язок задач в зошит:

Задача 2.1

При швидкому стисканні m = 4 г гелію (М = 4 г/моль) в циліндрі під поршнем газ нагрівається від t₁ = 7 °C до t₂ = 87 °C.

Визначити

роботу A стискання газу.

 

Дано: m = 4 г  М = 4 г/моль t1 = 7°С t2 = 87°С

A - ?

Розв’язання

Через швидкоплинність процесу теплообміном газу із навколишніми тілами можна знехтувати й уважати процес адіабатним (див. п. 2.2). Отже, робота стискання А йде тільки на зміну внутрішньої енергії U, котра визначається формулою (2.1):

A=32⋅mRM(T2−T1)${\displaystyle A=\frac{\mathrm{3/}}{2}\cdot \frac{mR}{M}(T_2-T_1)}$.

Обчислення дають

А ≈ 1,0 кДж.

 

Задача 2.2

При переміщенні поршня парової машини на відстань l = 60 см тиск пари  в циліндрі лінійно спадає від P₁ = 1,0 МПа до P₂ = 0,2 МПа, а температура понижується до t₂ = 107°C. Початковий об'єм пари V₁ = 10 л, площа поршня S = 1000 см². 

Визначити: 

А) роботу A і 

Б) початкову температуру пари t₁.

 

Дано: l = 60 см P1 = 1,0 МПа P2 = 0,2 МПа T2 = 107°С V1 = 10 л S = 1000 см2

A - ?  t1 - ?

Розв’язання

А). Роботу пари визначимо з графіка процесу на діаграмі (P, V), рис. 2.1, за площею виділеної трапеції (див. п. 2.1):

A=12(P1+P2)(V2−V1).${\displaystyle A=\frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1).}$

Зміна об’єму пари V₂ – V₁ = lS, отже

A=(P1+P2)LS2=3,6⋅104${\displaystyle A=\frac{(P_1+P_2)LS}{2}=3,6\cdot {10}^4}$ Дж = 36 кДж.

Б). Згідно з рівнянням Клапейрона (1.13),

P1V1=νRT1,P2V2=νRT2.${\displaystyle \begin{array}{rl}& P_1{V}_1=\nu R{T}_1,\\ & P_2{V}_2=\nu R{T}_2.\end{array}}$

Тож

T1T2=P1V1P2V2.${\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{P_1{V}_1}{P_2{V}_2}.}$

Звідси, врахувавши, що V₂ = V₁ + lS, одержимо наступну відповідь:

T1=T2⋅P1V1P2(V1+lS)=(P1/P2)1+lS/V1⋅T2${\displaystyle T_1=T_2\cdot \frac{P_1{V}_1}{P_2(V_1+lS)}=\frac{(P_1/P_2)}{1+lS/V_1}\cdot T_2}$ K.

Обчислення дають

T₁ = 475 K   →  t₁ = 2о2°С.

 

 

Задача 2.3. Температуру одного моля газу в циліндрі під поршнем змінюють від t₁ = 10°C до t₂ = 75°C.

Визначити 

А) кількість теплоти, отриманої газом при закріпленому Q_V) та вивільненому (Q_P) поршні; 

Б) роботу газу А.

Дано: ν = 1 моль t1 = 10°C t2 = 75°C

QV - ?; QP - ?

Розв’язання

A). При закріпленому поршні об'єм газу V = const, тобто нагрівання є ізохорним. Тож відповідно до формули (2.11)

Q_V = ΔU,

де ΔU – зміна внутрішньої енергії, котра визначається формулою (2.3):

ΔU=32νR(T2−T1)${\displaystyle \mathrm{\Delta }U=\frac{\mathrm{3/}}{2}\nu R(T_2-T_1)}$.

Таким чином, при закріпленому поршні газ одержує кількість тепла

Q_V  = 32νR(T2−T1)${\displaystyle \frac{\mathrm{3/}}{2}\nu R\left(T_2-T_1\right)}$ = 809 Дж.

Б). За відсутності тертя в будь-якому положенні поршня тиск газу в циліндрі дорівнює зовнішньому тиску, тобто нагрівання буде ізобарним (P = const). При цьому, відповідно до формул (2.8) і (2.12а) отримана газом кількість тепла Q_P дорівнює:

Q_P  = 32νR(T2−T1)${\displaystyle \frac{\mathrm{3/}}{2}\nu R\left(T_2-T_1\right)}$ +νR(T2−T1)${\displaystyle \frac{\nu }{R}\left(T_2-T_1\right)}$  ⇒${\displaystyle \Rightarrow }$  Q_P  = 52νR(T2−T1)${\displaystyle \frac{\mathrm{5/}}{2}\nu R(T_2-T_1)}$ = 1,35 кДж.

Таким чином, для однакової зміни температури газу при вільному поршні необхідно витратити більшу кількість теплоти, ніж при закріпленому. Це й зрозуміло, бо якщо при незмінному об'ємі на нагрівання йде все отримане тепло, то при постійному тиску – тільки його частина, а решта витрачається на виконання газом роботи розширення A. Тож при однаковій зміні температури (і, відповідно, внутрішньої енергії)

Q_P – Q_V = A.

 

Задача 2.4. Незмінну кількість газу переводять із стану 1 у стан 2 двома заданими способами ("шляхами"): a) і б).

Визначити

відношення кількостей тепла (Q_a/Q_b), отриманих газом у кожному випадку, якщо відношення  кінцевого та початкового тисків (Р₂/Р₁) складає n = 9.

Дано: (P2/P1) = n n = 9

(Qa/Qb) - ?

Розв’язання

За першим законом термодинаміки (2.9а) отримана газом кількість тепла в кожному випадку визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

Q = ΔU +A.

(1)

На рис. 2.4,показати V₁, V₂ показано задані ''шляхи" переходу газу із стан1 у стан 2. А саме: у випадку а) це ламана 1 → 1′ → 2, а б) – відрізок 1 → 2 на промені, що виходить із початку координат. Це означає, що в обох випадках заданих процесах відношення крайніх значень об'ємів і тисків є однакові:

V2V1=P2P1=n${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{P_2}{P_1}=n}$.

Однаковими є й зміни внутрішньої енергії газу, котрі, згідно з формулою (2.2) і вказаним зв'язком між крайніми параметрами, дорівнюють:

ΔU=32(P2V2−P1V1)=32(n2−1)P1V1${\displaystyle \mathrm{\Delta }U=\frac{3}{2}\left(P_2{V}_2-P_1{V}_1\right)=\frac{3}{2}\left(n^2-1\right)P_1{V}_1}$

(2)

Роботу газу A_a у випадку a) і A_b у випадку b) визначимо через площу виділеної кольором фігури на рис. 2.4а та 2.4б:

A_a = P₂(V₂ – V₁)     ⇒${\displaystyle \Rightarrow }$     A_a = n(n–1)P₁V₁,

Ab=12(P1+P2)(V2−V1)${\displaystyle A_b=\frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)}$     ⇒${\displaystyle \Rightarrow }$     Ab=(n2−1)P1V12.${\displaystyle A_b=\frac{(n^2-1)P_1{V}_1}{2}.}$

Відтак підставимо ці вирази в рівняння (1) і врахувавши вираз (2), після перетворень знаходимо

Qa=(n−1)(5n+3)2P1V1;${\displaystyle Q_a=\frac{(n-1)(5n+3)}{2}{P}_1{V}_1;}$

 Q_b = 2(n² – 1)P1V1.

Відтак отримуємо кінцеву відповідь:

Q1Q2=5n+34(n+1)=1,2.${\displaystyle \frac{Q_1}{Q_2}=\frac{5n+3}{4(n+1)}=1,2.}$

Задача 2.5. Газ у кількості ν = 0,2 моль із початковими об'ємом V₀ = 5 л і тиском Р₀ = 100 кПа нагрівають у циліндрі з рухомим поршнем так, що тиск і об'єм весь час перебувають у прямо пропорційному зв'язку.

Визначити:

1. Зв'язок між температурою та тиском газу в цьому процесі; 

2. Роботу газу на момент, коли його об'єм збільшиться в n = 2 рази.

Дано: ν = 0,2 моль Р0 = 100 кПа V0 = 5 л n = 2

Т(V) - ?, А - ?

Розв'язання

1. Згідно з рівнянням Клапейрона (7.13),

T=PVνR${\displaystyle T=\frac{PV}{\nu R}}$,

а за умовою задачі

PV=P0V0⇒P=P0V0V${\displaystyle \frac{P}{V}=\frac{P_0}{V_0}\Rightarrow P=\frac{P_0}{V_0}V}$.

Отже,

T=αV2,α=P0νRV0${\displaystyle T=\alpha V^2,\alpha =\frac{P_0}{\nu R{V}_0}}$.

2. Роботу газу визначимо за площею графіка процесу (див. п.2.2), який показано на рис. 2.5. зроб :

A=12(P+P0)(V−V0)${\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(P+P_0\right)\left(V-V_0\right)}$,

і, враховуючи задане співвідношення між кінцевими та початковими значеннями параметрів,

A=n2−12P0V0${\displaystyle A=\frac{n^2-1}{2}{P}_0{V}_0}$ = 750 Дж.

Задача 2.6. Два молі газу в циліндрі з поршнем спочатку ізобарно розширюють в n =  2 рази, а потім ізохорно охолоджують до вихідної температури.

Визначити

максимальну температуру газу Т,  якщо різниця отриманої та відданої ним кількості теплоти ΔQ = 8,3 кДж. Газова стала R = 8,3 Дж/(моль·K).

 

Дано: ν = 2 моль n = 2 ΔQ = 8,3 кДж

Т - ?

Розв'язання

Шукана максимальна температура газу відповідає точці 1′(P₁,V₂) на графіку заданого комбінованого процесу (рис. 2.6. зроб).

Згідно з першим законом термодинаміки, отримана Q₁ чи віддана Q₂ газом кількість теплоти, на загал, визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

Q = ΔU + A.

Але, позаяк за умовою  кінцева й початкова температури є однакові, приріст внутрішньої енергії газу при нагріванні дорівнює її спадові при охолодженні. Тому різниця отриманої та відданої кількостей теплоти ΔQ дорівнює тільки роботі газу при ізобарному розширенні й визначається формулою (2.7). Отже,

ΔQ = P1(V2 – V1).

(1)

Так само через рівність початкової та кінцевої температур точки 1 і 2 належать одній ізотермі, отже,

P1V1=P2V2⇒V1=P2P1V2=1nV2${\displaystyle P_1{V}_1=P_2{V}_2\Rightarrow V_1=\frac{P_2}{P_1}{V}_2=\frac{1}{n}{V}_2}$.

 Зробивши таку заміну у виразі (1), дістанемо

ΔQ=n−1nP1V2=n−1nνRT${\displaystyle \mathrm{\Delta }Q=\frac{n-1}{n}{P}_1{V}_2=\frac{n-1}{n}\nu RT}$,

(2)

і відтак отримаємо наступну відповідь:

T=nΔQ(n−1)νR=1000 K